ねこぱぱ問題に挑戦！
中学生にも解ける！
大学入試問題（数学）

第３話　ガウス君に挑戦！　合計いくつ？

●むかーし、むかしのことじゃった・・（ＴＶ「日本昔話」調で・・） 　ドイツのある街に、算数のたいそう得意な少年がおったそうな。 　ある日のこと、この少年の通っている学校の先生が、ちょっと楽をしようと 　思ったのか、次の様な問題を出したそうな。 　「１から１００までの数字を全部足し算しなさい。できた子から先生と表で 　　遊ぶことにしよう！」 　今も昔も何かと忙しい先生のことですから、 　「よしよし、これで職員会に出すプリントができるわい。」 　と言ったどうか定かではありませんが、とにかく当分できないだろうと高を 　くくっておりました。 　子どもたちはと言うと、「ニンテンドー６４」も「プレイステーション」も 　ない時代のことですから、早く先生と遊びたくて仕方がありません。 　が、そこはまだ子どものことですから、計算はなかなか進みません・・ 　ところが、この少年、あっと言う間に答えを出してしまったのです。 　どうしてそんなに早く計算できたのか不思議に思った先生がこの少年に計算 　の仕方を尋ねたところ、それはそれはエクセレントな解答でしたので、仕方 　なく先生はその少年とグランドで遊ぶ羽目になってしまいましたとさ。 　この少年の名はガウス君と言い、その後大変立派な数学者となったそうな。 　めでたし、めでたし。 　♪　ぼおやー　よい子で　ねんねしな　・・・ ●ガウス君はこう考えました・・ 　さて、いきなり１〜１００までの和を考えるのも大変ですから、とりあえず 　１〜１０の和で考えてみることにしましょう。 　ちなみに、英語では『和、合計』のことをＳＵＭといいますので、その 　頭文字をとって、和のことをかっこよくＳと表すことにします。 　つまり、 　　　　Ｓ　＝　　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０　・・・（ア） 　と表すことにします。 　さて、上の（ア）に出てくる数字を大きい順に書き直してみます。 　　　　Ｓ　＝　１０＋９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１　　・・・（イ） 　この時、足し算は順番を変えても結果は変わりませんから、（ア）（イ）の 　合計はどちらもＳであることに気をつけておいて下さい。 　次に、（ア）（イ）の式を上下をペアにして足し算してみます。 　　　　Ｓ　＝　　１＋　２＋　３＋　４＋　５＋　６＋　７＋　８＋　９＋１０ 　　＋　Ｓ　＝　１０＋　９＋　８＋　７＋　６＋　５＋　４＋　３＋　２＋　１ 　　──────────────────────────────────── 　　　２Ｓ　＝　１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１＋１１ 　すると、あら不思議！　１１が１０個できましたね。 　　　２Ｓ　＝　１１×１０　＝　１１０ 　　　　　　　　　　　　　　　　　↓両辺を２で割って 　　∴　Ｓ　＝　５５ 　　───────── 　　というようにガウス君は計算したのです。 ●１〜１００も同じこと 　　上の説明が分かった人は、１〜１００までの和も簡単に求めることができます。 　　　　Ｓ　＝　　　１＋　　２＋　　３＋　・・・　＋　９８＋　９９＋１００ 　　＋　Ｓ　＝　１００＋　９９＋　９８＋　・・・　＋　　３＋　　２＋　　１ 　　──────────────────────────────────── 　　　２Ｓ　＝　１０１＋１０１＋１０１＋　・・・　＋１０１＋１０１＋１０１ 　　１０１が１００個できますから、 　　　２Ｓ　＝　１０１×１００　＝　１０１００ 　　∴　Ｓ　＝　５０５０ 　　─────────── 　となりますね。 ●この技（わざ）は、数字の間隔が一定ならどんな場合にも使えます。 　この技は、例えば２ずつ増えているとしても使えますよ！ 　例えば、偶数を２から順番に１０個足す場合を考えてみましょう。 　　　　Ｓ　＝　　２＋　４＋　６＋　８＋１０＋１２＋１４＋１６＋１８＋２０ 　　　　Ｓ　＝　２０＋１８＋１６＋１４＋１２＋１０＋　８＋　６＋　４＋　２ 　　──────────────────────────────────── 　　　２Ｓ　＝　２２＋２２＋２２＋２２＋２２＋２２＋２２＋２２＋２２＋２２ 　　　２Ｓ　＝　２２×１０　＝　２２０ 　　∴　Ｓ＝１１０ 　　──────── 　となります。（疑い深いあなたは、電卓で確かめてみて下さいね。） ●いろいろな場合にさっと使えるように、公式にしちゃいましょう。 　上の３つの例をよーく見比べてみて下さい。途中の数字はあまり関係なく、 　次の３つさえ分かれば合計が計算できることがわかりますか？ 　　（１）一番最初の数　（２）一番最後の数　（３）数がいくつあるか 　この３つの数字さえ分かれば・・・ 　　　２Ｓ＝｛（一番最初の数）＋（一番最後の数）｝×（数がいくつあるか） 　　∴　Ｓ＝｛（一番最初の数）＋（一番最後の数）｝×（数がいくつあるか）÷２ 　で合計を求めることができるのです。 ┌────────────────────────────────────┐ │公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│ │　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│ │　Ｓ＝｛（一番最初の数）＋（一番最後の数）｝×（数がいくつあるか）÷２　│ └────────────────────────────────────┘ 　わかっていただけましたか？？？？？ 　よくわからなかった人は、学校の先生やお友だちに聞いてみて下さいね。 　高校生以上の君は、いろいろな公式を習っていると思いますが、今回はこの公式 　だけで大学入試問題を解いてしまいましょう！

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