ねこぱぱ問題に挑戦！
中学生にも解ける！
大学入試問題（数学）

第４話　一休さんに挑戦！　合計いくつ？

●好き好き好き好き好きっ好き、愛してる 　（前略） 　トンチ問答で将軍様に勝った一休さん。 　ご褒美として次のような方法で１ヶ月間お餅を下さいとお願いしました。 　「最初の日にお餅を１個だけ下さい。２日目にはその２倍の２個のお餅を、 　３日目にはまたその２倍の４個と言うように、前の日の２倍の数のお餅を 　いただけませんか？　ほんの１ヶ月間だけで結構ですから・・・」 　一休さんはこのお餅で、食べるものに困っていた京都の人たちを助けようと 　考えていたのです。 　余り深く考えなかった将軍様は「ＯＫ！」と言ってしまいましたが、１０日 　もするとだんだん大変な事になっていました・・・。 　♪　母上様、お元気ですかぁー　・・・ ●とりあえず１週間では・・・ 　とりあえず、１週間（７日間）では将軍様は合計何個のお餅を用意しなくては 　いけないのかを考えてみましょう。 　７日位でしたら、実際に書き出して足し算した方が早いです。 　　　　　１日目　　　　　１個　　１ 　　　　　２日目　　　　　２個　　１×２ 　　　　　３日目　　　　　４個　　１×２×２ 　　　　　４日目　　　　　８個　　１×２×２×２ 　　　　　５日目　　　　１６個　　１×２×２×２×２ 　　　　　６日目　　　　３２個　　１×２×２×２×２×２ 　　　　　７日目　　　　６４個　　１×２×２×２×２×２×２ 　　　───────────────────────────── 　　　　（合計）　　　１２７個 　どうでしょう？ 　１２７個位のお餅なら、将軍様の力をすれば「楽勝」といった所ですね！？ 　実はこの後が大変なことになっていくのですが・・・ ●２10＝１０２４ 　さて、この後をもう少し続けて書いてみると次のようになっていきますね・・・ 　　　　　８日目　　　１２８個　　１×２×２×２×２×２×２×２ 　　　　　９日目　　　２５６個　　１×２×２×２×２×２×２×２×２ 　　　　１０日目　　　５１２個　　１×２×２×２×２×２×２×２×２×２ 　１０日目には２を９回かけて５１２個でしたから、次の日の１１日目には２を 　１０回かけることになりますが、これを式で書くのはちょっと大変ですね。 　　　　２×２×２×２×２×２×２×２×２×２＝１０２４　・・・（ａ） 　更に、１２日目、１３日目・・と進むに従って２をかける回数はどんどん増えて 　いきますが、このままでは２を何回も書かなくてはならずめんどくさいですね。 　そこで！　 　２を１０回かける事を　２10　（２の１０乗（じょう））と表すことにします。 　つまり！　（ａ）の式は 　　　２10＝１０２４ 　と短く表すことにするのです。 　これでしたら、例え２を１００回かけることも　２100　と書けばＯＫですね。 　この便利な表し方を使って、１週間に将軍様が用意しなくてはならないお餅の数を 　別の方法で求めてみることにします。 ●合計はＳ（Ｓｕｍ）でしたよね！　（第３問を見てね） 　先ほど書き出した表を、２の＊乗という形で書き直してみると次のようになります。 　　　　　１日目　　　　　１個　　１ 　　　　　２日目　　　　　２個　　２1 　　　　　３日目　　　　　４個　　２2 　　　　　４日目　　　　　８個　　２3 　　　　　５日目　　　　１６個　　２4 　　　　　６日目　　　　３２個　　２5 　　　　　７日目　　　　６４個　　２6 　　　───────────────── 　　　（Ｓ：合計）　　１２７個 　　∴　　Ｓ＝１＋２1＋２2＋２3＋２4＋２5＋２6　　　　・・・（１） 　次に、（１）の式の両辺に２をかけてみます。（これが「技（わざ）」なのです。） 　　∴　２Ｓ＝２×（１＋２1＋２2＋２3＋２4＋２5＋２6） 　　　　　　＝２×１＋２×２1＋２×２2＋２×２3＋２×２4＋２×２5＋２×２6 　　∴　２Ｓ＝　　２1＋２2＋２3＋２4＋２5＋２6＋２7　　・・・（２） 　この時、例えば一番最後の　２6　について確認してみると、 　２6　というのは　２が６回かけてあるのですから、 　２をかけることによって、２が７つになりますね。 　　　　　２×２6　＝　２×２・２・２・２・２・２　＝　２7 　となることに注意して下さいね。 　これで準備完了です。 　（１）（２）を大きい順に並びかえて、（２）−（１）を計算してみると 　　　　２Ｓ＝　２7＋２6＋２5＋２4＋２3＋２2＋２1　　　・・・（２） 　　−　　Ｓ＝　　 　２6＋２5＋２4＋２3＋２2＋２1＋１　・・・（１） 　　────────────────────────────────── 　　　　　Ｓ＝　２7 　　　　　　　　　　　　　　−１ 　つまり、７日目までのお餅の合計は　２7−１　（個）　と言うことになりますね。 　実際計算してみると分かりますが、これはちゃんと１２７個になります。 ●１０日目まででも同じこと 　上の説明が分かった人は１０日目までの合計も同様に求めることができます。 　　　　　Ｓ＝１＋２1＋２2＋２3＋２4＋２5＋２6＋２7＋２8＋２9 　　ですから 　　　　２Ｓ＝　２10＋２9＋２8＋２7＋２6＋２5＋２4＋２3＋２2＋２1 　　−　　Ｓ＝　　 　 ２9＋２8＋２7＋２6＋２5＋２4＋２3＋２2＋２1＋１ 　　────────────────────────────────── 　　　　　Ｓ＝　２10−１ 　となりますね。 　７日目までは　２7−１（個）、１０日目までが　２10−１（個）　・・・ 　つまり、ｎ日目までのお餅の合計は　２ｎ−１（個）ということになりそうですね。 　わかっていただけましたか？？？？？ 　よくわからなかった人は、学校の先生やお友だちに聞いてみて下さいね。 　高校生以上の君は、いろいろな公式を習っていると思いますが、今回はこのこと 　だけで大学入試問題を解いてしまいましょう！

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