ねこぱぱ問題に挑戦!
 中学生にも解ける!
大学入試問題(数学)
 


第6話 「ぬり絵」問題 第2弾!!



●こんどの塗り絵はちょっと手強いぞ!

 今回は前回に引き続き、塗り絵の問題です。
 ちょっとパワーアップしているので、がんばって考えてみてね!

 まずルールを確認しておきましょう。
 
 (ルール)

  1 ■赤■■青■■黄■■紫■ の4色で地図に色を付けていきます。
  2 4色全部使って下さい。
  3 隣り合う領土は、異なった色で塗って下さい。
  4 図形はこのままの位置で固定します。(くるくる回してはいけません。)


●まず、この図形はどうでしょう?


 使う色が4色で、塗る場所が4カ所ありますから、一つの色は1回しか使えませんね。

 まず真ん中から塗っていきましょう。(これが今回の問題のポイントです。)

 (1) 真ん中は4色のうち、どの色を塗ってもOKですから ・・・ 4通り 
 (2) 1番は残り3色のどれかを塗りますから       ・・・ 3通り 
 (3) 2番はまだ使っていない2色のどちらかですから   ・・・ 2通り 
 (4) 3番は最後に残った色を塗りますね。        ・・・ 1通り 

 以上のことから、塗り方は全部で・・

   4×3×2×1=24(通り)

 となります。

 前回(第5問)を解いてくれた人は、多分楽勝ですよね!?・・・



●今度はちょっぴり、ややこしいかも・・・

 今度は、円の外側を4つに分けた図で考えてみましょう。


 (1) やっぱり真ん中から塗ってみましょう。0番は    ・・・ 4通り
 (2) 1番も0番以外の3通りありますよね!       ・・・ 3通り

 ここまでで、 4×3=12(通り) の塗り方があります。

 この後、2、3、4番の塗り方が何通りあるかわかれば、解決ですよね。


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  例として、0番に■紫■、1番に■赤■を塗った場合で考えてみましょう。

  ◎混乱しそうな人は、自分で図を描いて実際に塗っていってみて下さいね。
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 (3) 2番は、0番(紫)1番(赤)以外の色を塗りますから・・・ 2通り
     (■青■を塗ったとします。)

 (4) 3番は、0番(紫)と2番(青)と隣り合っています
     から、赤か黄を塗らなくてはなりませんね。     ・・・ 2通り
     (■赤■を塗ったとします。)

 (5) 4番は、0番(紫)、1番(赤)、3番(赤)
     と異なった色(青か黄)で塗らなくてはなりません。 ・・・ 2通り
     (■青■を塗ったとします。)

 従って、(3)×(4)×(5)=8(通り) !?

 んっ!?  引っかからずに気がついたかな????

 最後の(5)で青を塗った場合はダメですよ。

 だって黄色を使ってないじゃないですか!!!


●可能性のある塗り方を全て書き出してみましょう。

 そこで、先ほどの(3)(4)(5)に従って、可能性のある塗り方を全て書き出して
 表にしてみることにします。 (0番は紫で、1番は赤でしたね。)

 No   1番   2番   3番   4番   判定 
  1   ■赤■   ■青■   ■赤■   ■青■   ×1 
  2   ■赤■   ■青■   ■赤■   ■黄■   ◎ 
  3   ■赤■   ■青■   ■黄■   ■赤■   ×2 
  4   ■赤■   ■青■   ■黄■   ■青■   ◎  
  5   ■赤■   ■黄■   ■赤■   ■青■   ◎  
  6   ■赤■   ■黄■   ■赤■   ■黄■   ×1 
  7   ■赤■   ■黄■   ■青■   ■赤■   ×2 
  8   ■赤■   ■黄■   ■青■   ■黄■   ◎  

    ×1 ・・・ 4色使っていないので、ダメ!
    ×2 ・・・ 1番と4番が同じ色になってしまうので、ダメ!

 ということで、(3)(4)(5)の塗り方は、4通りあることが分かります。

 従って、2番目の図形を塗り分ける方法は全部で、

   (0番の塗り方)×(1番の塗り方)×(2・3・4番の塗り方)

  = 4(通り)×   3(通り)×   4(通り)

  = 48(通り)

 あることになります。


●教訓 ややこしい時は、まず全部書いてみて、後でダメなものを除いていく

 この方法は、意見面倒くさいようですが、とりあえず全て書き出して、後で
 ダメなものを除いていく方法も、問題を解く時の、大切な戦略のひとつです。


●表にするのが面倒くさい人は、こんな方法もあります。

 上ような表を作る以外にも、考えられるパターンを全て書き出す方法には、
 このほかに、下の図のように「枝分かれ」のような図を書く方法もあります。


     1番 ・・・         ■■ 赤 ■■         
                  /         \       
     2番 ・・・      青           黄      
               /   \       /   \    
     3番 ・・・   赤     黄     赤     青   
             / \   / \   / \   / \  
     4番 ・・・ 青   黄 赤   青 青   黄 赤   黄 

     No ・・・ 1   2 3   4 5   6 7   8 

     判定 ・・・ ×   ◎ ×   ◎ ◎   × ×   ◎ 


 この図のことを「樹形図(じゅけいず)」といいます。(木の形に似てるでしょ?)


それでは、がんばって大学入試問題に挑戦してみましょう!
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